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Dodekaeder-Konstruktion

Wie es gemacht wird, soll hier anhand einer 3D-Konstruktion mit SketchUp gezeigt werden.

Ziel ist es, für das zu bauende Dodekaeder-Puzzle, die Schnittlinien aus einem 3D-Modell abzuleiten, um sie dann in einem Bauplan umsetzen zu können.

Hierzu wird zuerst ein Dodekaeder (ein Körper mit 12 symmetrischen, fünfeckigen Flächen und 30 Kanten) aus gleichseitigen Fünfecken konstruiert. Im nächsten Schritt wird dann in die Kanten, dreier benachbarter Flächen,  jeweils ein Stab so eingesetzt, dass sich die drei Stäbe in den Ecken schneiden. Daraus können nun die Schnittlinien für den Plan abgeleitet werden.

 

Gleichseitige Fünfeck

Begonnen wird mit der Konstruktion eines gleichseitigen Fünfecks mit 85 mm Kantenlänge. Anschließend wird es für die weitere Verwendung als Komponente gespeichert.

Drei Flächen

Nun werden drei dieser Fünfecke, wie links ersichtlich, aneinander gelegt, so dass sie dann, wie im Folgenden gezeigt wird, gefaltet werden können.

Die Winkelhalbierende

Zur Ermittlung des Schnittpunktes wird nun eine Fläche in die Winkelhalbierende der beiden zu faltenden Flächen gelegt.

Schnittpunkt mit Ecke und WH

Der Schnittpunkt auf der Fläche, mit der Ecke der zu faltenden Seitenfläche des Dodekaeders, ergibt sich aus dem Kreisbogen mit senkrechtem Abstand von der Achse (rot) zum Eck.

Vor der Faltung

Hier nochmals der Schnittpunkt auf der Fläche, in dem sich nach den Faltungen, die beiden Ecken, der rechten und linken Fläche, treffen müssen.

Nach der Faltung

Nach der Faltung. Die Fläche wurde um die Achse gedreht, bis sie im Schnittpunkt mit dem Eckpunkt der zu faltenden Fläche einrastet.

Drei Flächen gefaltet

Die ersten drei Flächen des Dodekaeders sind nun fertig. Auch sie werden als eine Komponente gespeichert.

Zusammengefügter transparenter Dodekaeder

Die nun folgenden Schritte sind optional und dienen nur zur Überprüfung der geometrie des Körpers.

Hierbei wird der Dodekaeder komplett zusammengesetzt, wobei dazu auf die bereits vorher erstellte Komponente der Dodeka-Seite zurückgegriffen wird.

Zusammengefügter Dodekaeder

Hier noch mal der fertige Dodekaeder in opakter Darstellung.

Drei Flächen gefaltet

Für die weitere Konstruktion werden nur drei benachbarte Seiten benötigt. Die Achse ist so ausgerichtet, dass eine Achse auf der Winkelhalbierenden und die Zweite auf der Schnittlinie der Winkelhalbierenden durch die obere Ecke geht.

Dodeka mit Winkelhalbierender

Hier wird die Fläche der Winkelhalbierenden so vergrößert, dass sie über die Kante, auf der der erste Stab gesetzt werden soll, hinausreicht.

Eingesetzter Stab

Jetzt wird die Achse erneut neu gesetzt. Eine davon muss nun genau durch auf der Kante, die Zweite muss auf der Fläche, der zuvor erstellten Winkelhalbierenden, liegen. Danach wird der Stab exakt mittig unter einem Winkel von 45° zu seiner Längsachse auf der Kante positioniert.

Eingesetzter Stab mit WH

Dabei hilft die Winkelhalbierende bei der richtigen Ausrichtung des Stabes.

Stab wurde gedreht

Im nun folgenden Schritt wird der Stab um seinen Mittelpunkt soweit nach rechts verdreht, bis sich seine linke und rechte Kante mit den beiden Ecken der Dodeka-Flächen schneidet. Dabei ist es vorteilhaft, die zuvor neu festgelegte Achse in die Mitte der Kante zu verschieben.

Drei Stäbe schneiden sich in der Ecke

Für die weiteren zwei Stäbe wird der Vorgang wie oben beschrien wiederholt, so dass sich das folgende Bild ergibt. Die drei Stäbe schneiden sich nun in der oberen Ecke des Dodekas.

Drei Stäbe schneiden sich in der Ecke ohne WH

Wichtig ist, dass die Stäbe genau gleich ausgerichtet sind. Dies kann hier nochmals nach dem Ausblenden des Layers der Winkelhalbierenden überprüft werden.

Jetzt können die Schnittlinien der gegenseitigen Durchdringung der Stäbe ermittelt werden. Diese werden dann für einen Stab übernommen, welcher dann als Komponente gespeichert wird.

Zusammensetzen zweier Stäbe Nun wir das Puzzle aus den einzelnen Stäben zusammengesetzt. Hierzu wird zunächst eine Stab-Komponente (Stab 1) ins Bild gelegt und wie links ersichtlich die Achs neu ausgerichtet. Erst jetzt darf der zweite Stab (Stab 2) ins CAD gezogen werden. Nach der Ausrichtung des Stabes, wird dieser mit seinem Griffpunkt an der Einfügestelle des ersten Stabes abgelegt.
Zusammengesetzte Stäbe

Das sieht nun so aus, wie links gezeigt.

Ein weiterer Stab kommt hinzu

Nach erneuter Ausrichtung der Achse, in der Nut des zweiten Stabes, wird wiederum ein weiterer Stab (Stab 3) aus den Komponenten geholt, entsprechend gedreht und ebenfalls, wie zuvor, am den vorherigen Einfügepunkt verschoben.

Drei zusammengesetzte Stäbe

Somit ist jetzt die erste Ecke des Puzzle fertig. Für die weiteren 27 Stäbe wird der Vorgang in analoger Weise durchgeführt.

Das fertige Puzzle

Danach sollte sich folgendes Bild ergeben.

Bemaßung eines Stabes

Links im Bild wird die Bemaßung eines Stabes gezeigt. Wichtig ist hier, dass die Richtung und Tiefe der Nut exakt ausgeführt wird, denn die Winkelfehler summieren sich zu sichtbaren Abweichungen auf.

Einstellungen für die Herstellung

Das Bild links zeigt die Einstellungen für die Fräse. Rot dargestellt ist der durchdringende Stab, der auch der Fräsbahn entspricht.

 

PDF-Dokument Bau- und Einstellplan zum Dodekaeder-Puzzle
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